Problema de Cauchy Para Un Sistema De Ecuaciones de Korteweg-de Vries Generalizadas

Autor: Juan Montealegre Scott
\documentclass[a4paper]{article} \usepackage{amsfonts} \usepackage[latin1]{inputenc} \usepackage[spanish]{babel} \usepackage{amsmath,amssymb,latexsym,amsthm,amscd} \setlength{\topmargin}{-0.25in} \setlength{\textheight}{9.25in} \setlength{\oddsidemargin}{0.0in} \setlength{\evensidemargin}{0.0in} \setlength{\textwidth}{6.25in} \newtheorem{teorema}{Teorema} \begin{document} \begin{center} {\large \textbf{Problema de Cauchy Para Un Sistema De Ecuaciones de Korteweg-de Vries Generalizadas}} J. Montealegre Scott jmscott@pucp.edu.pe Pontificia Universidad Católica Perú \end{center} En la conferencia será considerado el problema de Cauchy \begin{equation} \left\{ \begin{array}{l} \partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+2\alpha u^{p}\partial _{x}u+v^{p}\partial _{x}v+\partial _{x}\left( uv^{p}\right) =0, \\ \partial _{t}v+\partial _{x}^{3}v+u^{p}\partial _{x}u+2\beta v^{p}\partial _{x}v+\partial _{x}\left( u^{p}v\right) =0, \\ u\left( x,0\right) =u_{0}\left( x\right) , \\ v\left( x,0\right) =v_{0}\left( x\right) ,% \end{array}% \right. \tag{P} \end{equation}% en donde $u=u\left( x,t\right) \ $y $v=v\left( x,t\right) $ son funciones de valores reales de las variables $x\in \mathbf{R}$ y $t\geq 0$, $u_{0}$ y $% v_{0}$ son datos iniciales, $\alpha $ y $\beta $ son constantes positivas con $\alpha +\beta =1$ y el exponente $p$ es un entero positivo mayor que o igual a uno. El sistema del problema $\left( \text{P}\right) $ tiene la estructura de dos ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a través de los términos no lineales. En el caso $p=1$ el sistema fue presentado por Nutku y O\~{g}uz en \cite{NO}. Utilizamos la teoría de Kato para ecuaciones quasi-lineales, para demostrar que el problema $\left( \text{P}\right) $ es localmente bien formulado cuando los datos iniciales $u_{0}$ y $v_{0}$ pertenecen al espacio de Sobolev $H^{s}=H^{s}\left( \mathbf{R}\right) $ y $s>3/2$, es decir, se mostrará que dicho problema tiene solución única que depende continuamente de los datos iniciales. También se indicará como en el caso $p=1$, se obtiene la existencia de una solución global siempre que $u_{0},v_{0}\in H^{s}$ y $s\geq 2$. \begin{thebibliography}{9} \bibitem{Bona-1} L. Bona, J. Cohen, G. Wang. \emph{Global well-posedness for a system of KdV-type equations with coupled quadratic nonlinearities}. Nagoya mathematical journal, 215 $\left( \text{2014}\right) $, 67-149. \bibitem{HL} H. Hu, Q.P. Liu . \emph{Decouple a coupled KdV system of Nutku and O\~{g}uz}. Phys. Lett. 294A $\left( \text{2002}\right) $, 84-86. \bibitem{K1} T. Kato. \emph{Quasi-linear equations of evolution, with applications to partial differential equations}. Lecture and Notes in Mathematics, 448 $\left( \text{1975}\right) $, 25-70. \bibitem{Ko} K. Kobayasi. \emph{On a theorem for linear evolution equations of hyperbolic type}. J. Math. Soc. Japan, 31 $\left( \text{1979}\right) $, 647-654. \bibitem{NO} Y. Nutku, Ö. O\~{g}uz. \emph{Bi-Hamiltonian structure of a pair of coupled KdV equations}. Il Nuovo Cimento 105B $\left( \text{1990}\right) $ 1381-1383. \end{thebibliography} \end{document}