Problema de Cauchy Para Un Sistema De Ecuaciones de Korteweg-de Vries Generalizadas
Ponente(s): Juan Montealegre Scott
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\newtheorem{teorema}{Teorema}
\begin{document}
\begin{center}
{\large \textbf{Problema de Cauchy Para Un Sistema De Ecuaciones de
Korteweg-de Vries Generalizadas}}
J. Montealegre Scott
jmscott@pucp.edu.pe
Pontificia Universidad Católica Perú
\end{center}
En la conferencia será considerado el problema de Cauchy
\begin{equation}
\left\{
\begin{array}{l}
\partial _{t}u+\partial _{x}^{3}u+2\alpha u^{p}\partial _{x}u+v^{p}\partial
_{x}v+\partial _{x}\left( uv^{p}\right) =0, \\
\partial _{t}v+\partial _{x}^{3}v+u^{p}\partial _{x}u+2\beta v^{p}\partial
_{x}v+\partial _{x}\left( u^{p}v\right) =0, \\
u\left( x,0\right) =u_{0}\left( x\right) , \\
v\left( x,0\right) =v_{0}\left( x\right) ,%
\end{array}%
\right. \tag{P}
\end{equation}%
en donde $u=u\left( x,t\right) \ $y $v=v\left( x,t\right) $ son funciones de
valores reales de las variables $x\in \mathbf{R}$ y $t\geq 0$, $u_{0}$ y $%
v_{0}$ son datos iniciales, $\alpha $ y $\beta $ son constantes positivas
con $\alpha +\beta =1$ y el exponente $p$ es un entero positivo mayor que o
igual a uno. El sistema del problema $\left( \text{P}\right) $ tiene la
estructura de dos ecuaciones de Korteweg-de Vries generalizadas acopladas a
través de los términos no lineales. En el caso $p=1$ el sistema fue
presentado por Nutku y O\~{g}uz en \cite{NO}.
Utilizamos la teoría de Kato para ecuaciones quasi-lineales, para
demostrar que el problema $\left( \text{P}\right) $ es localmente
bien formulado cuando los datos iniciales $u_{0}$ y $v_{0}$
pertenecen al espacio de Sobolev $H^{s}=H^{s}\left(
\mathbf{R}\right) $ y $s>3/2$, es decir, se mostrará que dicho
problema tiene solución única que depende continuamente de los
datos iniciales. También se indicará como en el caso $p=1$, se
obtiene la existencia de una solución global siempre que
$u_{0},v_{0}\in H^{s}$ y $s\geq 2$.
\begin{thebibliography}{9}
\bibitem{Bona-1} L. Bona, J. Cohen, G. Wang. \emph{Global well-posedness for
a system of KdV-type equations with coupled quadratic nonlinearities}.
Nagoya mathematical journal, 215 $\left( \text{2014}\right) $, 67-149.
\bibitem{HL} H. Hu, Q.P. Liu . \emph{Decouple a coupled KdV system of Nutku
and O\~{g}uz}. Phys. Lett. 294A $\left( \text{2002}\right) $, 84-86.
\bibitem{K1} T. Kato. \emph{Quasi-linear equations of evolution, with
applications to partial differential equations}. Lecture and Notes in
Mathematics, 448 $\left( \text{1975}\right) $, 25-70.
\bibitem{Ko} K. Kobayasi. \emph{On a theorem for linear evolution equations
of hyperbolic type}. J. Math. Soc. Japan, 31 $\left( \text{1979}\right) $,
647-654.
\bibitem{NO} Y. Nutku, Ö. O\~{g}uz. \emph{Bi-Hamiltonian structure of a pair
of coupled KdV equations}. Il Nuovo Cimento 105B $\left( \text{1990}\right) $
1381-1383.
\end{thebibliography}
\end{document}