El tejido invisible de la dinámica compleja

La din´amica asociada a la iteraci´on de funciones de variable compleja (o simplemente, la din´amica compleja) tiene sus or´ıgenes en el an´alisis matem´atico de finales del siglo XIX con los trabajos de Cayley, Schroeder y Kœnigs. En ellos se realiz´o el estudio local de puntos fijos mediante el planteamiento y soluci´on de ecuaciones funcionales definidas en vecindades de estos puntos. Estas t´ecnicas mostraron limitaciones, pues s´olo determinar la regi´on de m´axima convergencia para las funciones soluci´on presentaba “obst´aculos formidables”, seg´un el propio Schroeder. Fue en la d´ecada de 1920 cuando los matem´aticos Fatou y Julia dan inicio al estudio global de iteraci´on de funciones y logran solucionar algunas conjeturas del caso local. Los importantes avances de Fatou y Julia se debieron en gran medida a la teor´ıa de familias normales de Montel. Este “entretejido” de dos teor´ıas del an´alisis no parece sorprendente, mas en la actualidad existen m´ultiples ejemplos donde la din´amica compleja se ha entrelazado con teor´ıas aparentemente ajenas provenientes de la geometr´ıa, el ´algebra, la topolog´ıa, la combinatoria, la aritm´etica, la complejidad computacional, entre otras m´as. En esta charla presentar´e conceptos generales de la teor´ıa de iteraciones y describir´e con ejemplos concretos su interacci´on con otras ´areas, las cuales han dado lugar al tejido invisible que en la actualidad constituye la din´amica compleja.