Polinomios de Schur y soluciones básicas de las recurrencias lineales (Conferencia Invitada de Miscelánea Matemática en Álgebra)

Autor: Egor Maximenko
Coautor(es): Mario Alberto Moctezuma Salazar
En esta plática de divulgación mostraremos cómo expresar la solución de las recurrencias lineales homogéneas con coeficientes constantes en términos de los polinomios de Schur y de las condiciones iniciales. En la primera parte de la plática introduciremos el concepto de polinomios simétricos de varias variables; en particular, daremos a conocer los polinomios elementales simétricos (que surgen de manera natural en las fórmulas de Vieta) y los polinomios homogéneos completos. Luego definiremos los polinomios de Schur como cocientes de ciertos determinantes (a saber, el determinante generalizado de Vandermonde y el determinante de Vandermonde) y mencionaremos la conexión de estos polinomios con polinomios simétricos elementales y completos. Los polinomios de Schur pueden ser expresados como sumas de monomios que corresponden a ciertas tablas de Young. Estos polinomios forman una base del espacio vectorial de polinomios simétricos. En la segunda parte de la plática pasaremos al estudio de recurrencias lineales. Recordaremos la sucesión de Fibonacci y otras sucesiones clásicas, luego consideraremos la recurrencia lineal en la forma general. En un sistema de ecuaciones de la forma \[ x_k+a_1 x_{k-1}+\dots+a_d x_{k-d}=0, \] donde $a_1,\ldots,a_d$ son algunos números dados y $(x_k)_{k=0}^\infty$ es la sucesión incógnita. El polinomio característico de esta recurrencia lineal se define como \[ t^d+a_1 t^{d-1}+\ldots+a_d t^0. \] Se sabe que si el polinomio característico tiene $d$ raíces diferentes $z_1,\ldots,z_d$, entonces la solución general de la recurrencia lineal puede escribirse como combinación lineal de progresiones geométricas $C_1 z_1^k+\dots+C_d z_d^k$, donde los coeficientes $C_1,\ldots,C_d$ se determinan por las condiciones iniciales. Consideraremos un caso particular cuando las condiciones iniciales son del tipo ``delta de Kronecker'', esto es, entre los valores iniciales hay un $1$ y los demás son $0$. La soluciones correspondientes, que pueden llamarse las soluciones básicas, por las fórmulas de Cramer pueden escribirse como sucesiones de polinomios de Schur. Finalmente, la solución general de la recurrencia lineal será escrita en un forma muy explícita y concisa, como una suma de las condiciones iniciales multiplicadas por ciertos polinomios de Schur. Este estudio está basado en trabajos de William F. Trench y de Alain Lascoix, y fue parcialmente apoyado por el proyecto de investigación IPN-SIP 20170660.