Sistemas de Lie y principio de superposición para sistemas EDO

Autor: Misael Avendaño Camacho
Un sistema de ecuaciones diferenciales no autónomo en $\mathbb{R}^n$ admite un principio de superposición si la solución general del sistema se puede expresar en términos de un conjunto finito de soluciones particulares y un conjunto de parámetros reales que están relacionados con las condiciones iniciales. Entre los ejemplos básicos de sistemas de ecuaciones diferenciales que admiten principio de superposición podemos enunciar: (1) los sistemas de ecuaciones diferenciales lineales, (2) la ecuación de Riccati. En 1893, Vessiot y Gulberg probaron, de forma independiente, que salvo difeomorfismos las únicas ecuaciones diferenciales sobre la recta que admiten un principio de superposición son las ecuaciones de Riccati y las ecuaciones diferenciales lineales. Este trabajo atrajo la atención de Lie, quien afirmó que esa contribución era sólo un simple consecuencia de su trabajo previo publicado 1885. Las observaciones de Lie dieron origen a uno de los resultados más importantes de la teoría de sistemas de Lie y que hoy en día es conocido como el Teorema de Lie. Este resultado caracteriza a los sistemas de ecuaciones diferenciales no autónomos que admiten un principio de superposición como aquellos sistemas cuyo campo vectorial que los determina pertenece a un álgebra de Lie finito dimensional de campos vectoriales. En ésta charla se hará breve revisión de las nociones básicas de la teoría de sistemas de Lie y su relación con los principios de superposición para sistemas de ecuaciones diferenciales. Nuestro propósito es resaltar la relevancia de la teoría de sistemas de Lie la cual tiene aplicaciones en mecánica cuántica, reducibilidad y reducción de sistemas dinámicos con simetrías, ecuaciones diferenciales parciales, ecuaciones diferenciales de segundo orden y orden superior; solo por mencionar algunas.