Invariantes $L^2$ de 3-espacios de Alexandrov

Ponente(s): Jesús Ángel Núñez Zimbrón

Los espacios de Alexandrov son espacios métricos que admiten una noción de "curvatura seccional acotada por debajo" y que naturalmente generalizan a las variedades riemannianas con cotas inferiores en la curvatura seccional. A diferencia de las variedades, los espacios de Alexandrov pueden tener singularidades topológicas o métricas lo cual los hace útiles en problemas de geometría riemanniana en los que es necesario hacer construcciones sobre variedades cuyo resultado no es necesariamente una variedad, tales como tomar cocientes de acciones de grupos, límites de Gromov-Hausdorff, etc. La primera familia en la que aparecen las diferencias entre las variedades y los espacios de Alexandrov es la de los espacios 3-dimensionales lo cual hace interesante estudiar esta clase de espacios.
En esta plática reportaré sobre un trabajo en curso en conjunto con Noé Bárcenas (CCM-UNAM) en el que calculamos los llamados números de Betti $L^2$ para espacios de Alexandrov de dimensión 3. La idea central de estos invariantes es que, no sólo toman en cuenta al espacio en cuestión sino también a "la torre" de todos los espacios cubrientes de éste hasta llegar a la cubierta universal, y por tanto, dan mucha más información, especialmente en el caso en el que el grupo fundamental del espacio es infinito.