Vida más allá de los grupos de Lie: el grupo unitario asociado a un espacio de Hilbert.

Ponente(s): Raúl Quiroga Barranco

Los grupos de Lie, como consecuencia de su definición, son de dimensión finita. Los ejemplos más importantes aparecen como subgrupos cerrados de alguno de los grupos generales lineales GL(n,R) o GL(n,C), para algún entero n, sobre los reales o los complejos, respectivamente. Entre ellos se destaca el grupo U(n) de transformaciones unitarias del espacio vectorial complejo n-dimensional. El grupo U(n) es compacto y bastante bien conocido. Si H es un espacio de Hilbert de dimensión infinita, podemos seguir considerando ciertos análogos. Tenemos el álgebra B(H) de operadores acotados en H, el grupo GL(H) de operadores invertibles y el subgrupo U(H) de operadores unitarios. Una diferencia notable es la presencia de (por lo menos) tres topologías distintas en B(H) que son de importancia en análisis. Además, los objetos B(H), GL(H) y U(H) son ahora de dimensión infinita en cualquier topología empleada usualmente en análisis. En nuestra plática describiremos algunas de las propiedades del grupo U(H) que aparecen precisamente cuando H es un espacio de Hilbert de dimensión infinita.