Caos en las Series de Lüroth

Ponente(s): Gerardo Gonzalez Robert, Rafael Alcaraz Barrera
Ésta es una colaboración con el Dr. Rafael Alcaraz Barrera. En décadas recientes, la idea de caos ha tenido un gran impacto dentro y fuera de las matemáticas; no obstante, existen varias formas no equivalentes de abordarla. El caos de Li-Yorke, establecido originalmente para funciones continuas en intervalos compactos, ha sido muy estudiado y hoy conocemos condiciones necesarias y suficientes para que ocurra en sistemas dinámicos $(X,T)$ donde $X$ es un espacio métrico compacto y $T:X\to X$ es una función continua. A pesar de su generalidad, tales resultados excluyen sistemas importantes como los relacionados con las fracciones continuas regulares o con las series de Lüroth. Recientemente, W. Liu & B. Li (2016) y W. Liu & S. Wang (2019) probaron que el sistema dinámico asociado a las fracciones continuas regulares es caótico en el sentido de Li-Yorke y posee otras propiedades caóticas relacionadas. Nuestra investigación extiende a series de Lüroth el trabajo de W. Liu & B. Li y W. Liu & S. Wang, propone nuevas estrategias y lo simplifica ligeramente. Comenzaremos nuestra charla definiendo el caos de Li-Yorke, las parejas distales, las próximas y las asintóticas. Después, recordaremos algunas de propiedades básicas de estos objetos. Posteriormente, enunciaremos nuestros resultados principales: las series de Lüroth generan un sistema dinámico Li-Yorke caótico y la estimación, para cada $x\in[0,1]$, de los conjuntos de parejas próximas, asintóticas, distales y Li-Yorke caóticas con respecto a $x$. Señalaremos claramente las similitudes y las diferencias entre nuestra estrategia y la usada por W. Liu & B. Li y W. Liu & S. Wang. Concluiremos con algunos problemas de investigaciones posteriores y preguntas abiertas.