Fracciones continuas complejas

Ponente(s): Gerardo Gonzalez Robert
Las fracciones continuas regulares son herramientas fundamentales en la teoría de los números. A pesear de tener varios siglos, su teoría sigue siendo un terreno fértil para la investigación matemática desde varias perspectivas: aproximación diofántica, teoría ergódica, probabilidad y geometría fractal. En consecuencia, es natural buscar objetos análogos en otros contextos. En 1887, Adolf Hurwitz propuso un algoritmo para representar a los números complejos como una fracción continua cuyos cocientes parciales son enteros gaussianos. La luz del tiempo mostró que la propuesta de Hurwitz, además de ser sencilla, es muy útil. Comenzaremos la charla definiendo a las fracciones continuas de Hurwitz. Después, daremos un paseo por algunos de los resultados conocidos enfatizando las similitudes y las diferencias con las fracciones continuas regulares. Por ejemplo, veremos que la caracterización dada por Lagrange de los números con fracciones continuas periódicas sigue siendo cierta, pero no así el refinamiento de Galois sobre fracciones puramente periódicas. Discutiremos algunas propiedades ergódicas básicas así como de aproximación diofántica compleja. El centro de la charla será probar una versión compleja del Teorema de Borel-Bernstein y enunciar algunas de sus consecuencias.