Sobre algunos problemas combinatorios en teoría de nudos.

Ponente(s): Santino Ernesto Ramírez Medrano, Gelasio Salazar Anaya

Consideremos un diagrama de un nudo o un enlace. Al reemplazar cada cruce con un vértice de grado cuatro, obtenemos una gráfica plana 4-regular, a la que llamamos sombra. El diagrama original se puede obtener a partir de la sombra asignando a cada vértice la información arriba/abajo correspondiente a cada cruce. Es claro que a partir de una sombra con al menos un vértice es posible obtener más de un diagrama. Aún más, si una sombra tiene n vértices, el número de diagramas distintos que se pueden obtener de la sombra es 2^n. A partir de esta noción surgen inmediatamente dos preguntas: Dada una sombra S, ¿qué nudos o enlaces distintos se pueden obtener al asignar información arriba/abajo a los vértices de S? Y dado un nudo o enlace fijo K, ¿es posible obtener un diagrama de K asignando información a los vértices de S? En general estas preguntas son difíciles de responder dado que no existe un algoritmo eficiente para determinar si dos diagramas corresponden a un mismo nudo o enlace. Sin embargo existen algunos casos en los que es posible obtener información sobre el número de nudos o enlaces no isotópicos que le corresponden a una sombra dada y que nudos no se pueden obtener como asignaciones de una sombra fija. En este trabajo abordaremos estos problemas y algunos resultados conocidos.