La transformada de Fourier del núcleo reproductor y los operadores invariantes bajo traslaciones

Ponente(s): Egor Maximenko , Crispin Herrera Yañez, Gerardo Ramos Vazquez

Suponemos que $H$ es un espacio de Hilbert con núcleo reproductor $K$ sobre un dominio de la forma $G\times Y$, donde $G$ es un grupo abeliano localmente compacto e $Y$ es un espacio de medida. Estudiamos el álgebra de von Neumann $\mathcal{V}$ de los operadores invariantes bajo las traslaciones horizontales que actúan en el espacio $H$. Bajo ciertas condiciones técnicas, demostramos que esta álgebra se describe de manera natural en términos de la función $L$ definida como la transformada de Fourier de la función $K$ a lo largo de la primera componente: \[ L_{\xi,y}(v) = \int_G K_{0,y}(u,v) \overline{\xi(u)}\,\mathrm{d}\nu(u). \] En particular, $\mathcal{V}$ es conmutativa si, y sólo si, se tiene una descomposición de la forma $L_{\xi,y}(v)=\overline{q_\xi(y)}\,q_\xi(v)$. Aplicamos este esquema a muchos ejemplos, incluso los operadores invariantes bajo las acciones de ciertos grupos que actúan en los espacios de Bergman, poli-Bergman, Fock, poli-Fock, espacios de ondículas, etc.