Endomorfismos y automorfismos de G-conjuntos

Ponente(s): Alonso Castillo Ramírez
Un G-conjunto es simplemente un conjunto X en el cual actúa un grupo G. Este concepto se encuentra estrechamente relacionado con la noción de simetría y tiene aplicaciones en prácticamente todas las ramas de las matemáticas. Un endomorfismo (o mapeo G-equivariante) de un G-conjunto X es una transformación de X que conmuta con la acción de G; si un endomorfismo de X es biyectivo decimos que es un automorfismo de X. Este tipo de funciones son relevantes en diversas áreas tales como topología equivariante, dinámica topológica, teoría de representaciones e inferencia estadística. Iniciaremos esta plática con un repaso de acciones de grupos, incluyendo ejemplos y resultados importantes. Veremos algunas propiedades básicas de los endomorfismos y automorfismos de G-conjuntos, para después examinar el monoide End(X), que consiste en todos los endomorfismos de un G-conjunto X, y su grupo de unidades Aut(X). Usando el axioma de elección y el producto corona de grupos, explicaremos cómo es posible describir la estructura Aut(X) para cualquier G-conjunto X. Finalmente, presentaremos un resultado reciente, obtenido en colaboración con mi estudiante de doctorado Ramón Harath Ruiz Medina, que determina, cuando G y X son ambos finitos, una fórmula para la cardinalidad mínima de un subconjunto de End(X) que genera a End(X) módulo Aut(X), lo cual es conocido en teoría de semigrupos como el rank relativo de End(X) módulo Aut(X).