El Espectro Laplaciano de las Gráficas de Fichas

Ponente(s): Ana Laura Trujillo Negrete, Cristina Dalfó, Frank Duque, Ruy Fabila-Monroy, Miguel A. Fiol, Clemens Huemer, Francisco J. Zaragoza-Martínez

Sean $G$ una gráfica simple de $n$ vértices y $k$ un entero tal que $1\leq k\leq n-1$. La gráfica de $k$-fichas $F_k(G)$ de $G$ es la gráfica cuyos vértices son los $k$-conjuntos de vértices de $G$, donde dos de estos $k$-conjuntos son adyacentes si su diferencia simétrica es una arista de $G$. En esta plática hablamos sobre el espectro Laplaciano de las gráficas de fichas. Particularmente, mostramos que para cualquier gráfica $G$ y entero admisible $k$, el espectro Laplaciano $LS(G)$ de $G$ es un subconjunto del espectro Laplaciano $LS(F_k(G))$ de su gráfica de $k$-fichas $F_k(G)$, y más generalmente, para cualesquiera $t$ y $k$ enteros con $1\leq t\leq k\leq n/2$ se cumple que $LS(F_t(G))$ es un subconjunto de $LS(F_k(G))$. Además, mostramos que los espectros Laplacianos de $F_k(G)$, $F_k(\overline{G})$ y $F_k(K_n)$ están relacionados, donde $\overline{G}$ denota el complemento de $G$. Finalmente, hablamos sobre la conexidad algebraica de las gráficas de $k$-fichas de algunas familias de gráficas y presentamos una conjetura en esta dirección.