Una nota sobre la regularidad de las soluciones de un problema de Neumann no lineal ligeramente subcrítico

Ponente(s): Edgar Alejandro Antonio Martínez, Dr. Jorge Sánchez Ortiz Dra. Rosa María Pardo San Gil Dr. Martin Patricio Árciga Alejandre

Consideremos el siguiente problema de Neumann \begin{equation} \left\{ \begin{array}{rcll} -\Delta u +u &=& f(x,u), \quad &x\in \Om\,,\\% \frac{\p u}{\p \eta} &=& 0,\quad &x\in \partial \Omega , \end{array} \right. \end{equation} donde $\Omega \subset \mathbb{R}^N\ (N >2)$ es un dominio abierto, acotado, con frontera de clase $C^{2,\alpha}$ ($0< \alpha < 1$) y supondremos que la no-linealidad $f:\Omega \times \mathbb{R}\longrightarrow \mathbb{R}$ es una función de de Carathéodory {\it subcrítica}, es decir verifica la siguiente hipótesis: \begin{equation*}\label{f:growth} |f(x,s)|\le |a(x)|\, \tilde{f}(s) \end{equation*} donde $a\in L^\infty(\Om)$, y $\tilde{f}:\R\to [0,+\infty)$ es continua y además \begin{equation*}\label{f:sub} \lim_{|s| \to \infty} \frac{\tilde{f}(s)}{|s|^{2^*-1}}=0, \end{equation*} donde $2^*=\frac{2N}{N-2}$ es el exponente crítico de Sobolev.\\ Mediante una estimación de Brezis-Kato, basada en la técnica de iteración de Moser, y regularidad elíptica, enunciaremos condiciones suficientes para garantizar que cualquier solución débil de \eqref{PN1} con una no linealidad subcrítica de Carathéodory es una función continua, y de hecho es una solución fuerte.\\ %\begin{keyword} \textbf{Palabras claves:} Estimación de de Brezis-Kato; Encajes de Sobolev; Desigualdad de H\"older. %\end{keyword}