La estabilidad en sistemas dinámicos en espacios métricos
Ponente(s): Luis Aguirre Castillo
El estudio de grupos
continuos de trasformaciones, o dinámica topológica, se remonta
a los años 40 del siglo pasado, y se plasmó en libros como el de
Nemytski-Stepanov(1947; 2da parte) y Gottschalk-Hedlund (1955) entre otros precursores.
En este enfoque se explota el hecho de que muchas propiedades
cualitativas de las soluciones de ecuaciones diferenciales
ordinarias no dependen de la diferenciabilidad, sino sólo de las
propiedades de grupos continuos de transformaciones de un espacio
métrico o topológico sobre si. En las obras mencionadas, el
énfasis fue en los aspectos estructurales de los sistemas
considerados, y esto sigue siendo el caso en la linea de
investigación que corresponde a la dinámica topológica
clásica.
Un nuevo aspecto apareció con la extensión de la teoría de
la estabilidad de Lyapunov al contexto de la dinámica topológica
por Zubov (1957; 1er Cap.). Con esto se abrió la posibilidad de
probar resultados relacionados con la estabilidad de Lyapunov y sus
variantes ( como la estabilidad bajo perturbaciones sostenidas, o
"estabilidad total'') de gran generalidad y usando métodos
técnicamente muy sencillos. En esta charla mencionamos en este contexto sólo un
resultado que destaca por su amplia aplicabilidad:
Dado un sistema semidinámico (X,F,T) donde X es un espacio métrico (el espacio fase), F es el flujo continuo, T la escala del tiempo y suponiendo la presencia de conjunto invariante no vacío, Y un subconjunto de X con respecto al cual M un subconjunto compacto de Y es asintóticamente estable. Se prueba en general la estabilidad asintótica de M del sistema semidinámico. Este resultado se aplica al problema de la estabilización de un sistema de control no lineal.