d-hiperciclicidad para operadores de Toeplitz tridiagonales

Ponente(s): Alma Yasmin Luciano Gerardo, Dr. Slavisa Djorjevic, Dr. Ronald Richard Jiménez Munguía

Sea $X$ un espacio de Banach y $B(X)$ el \' algebra de operadores lineales y acotados. El operador $T\in B(X)$ se llama hipercíclico si existe $x \in X$ tal que el conjunto $Orb(T,x)= \{ T^{n}x : n \geq 1 \}$ es denso en $X$. En este caso, el vector $x$ se llama vector hipercíclico. En esta plática se hablará sobre una hiperciclicidad especial en $X^{N}= X\times \cdots \times X$ para algún $N \geq 2$. Los operadores (hipercíclicos) $T_{1}$, ..., $T_{N}\in B(X)$ son diagonalmente hipercíclicos ($d-$hipercíclicos), si existe $z \in X$ tal que $$\{ (z,z, ... , z), (T_{1}z,T_{2}z, ... ,T_{N} z), (T_{1}^{2}z,T_{2}^{2}z, ... ,T_{N}^{2} z), ... \} $$ es denso en $X^{N}$. El vector $z \in X$ se llama $d-$hipercíclico asociado a $T_{1}$, ... , $T_{N}$. Se dará especial atención al caso de los operadores de Toeplitz tridiagonales $T_{n}\in B(X)$, donde $X$ es el espacio de Hardy, los cuales tienen una representación matricial de la forma: \begin{equation*} \begin{pmatrix} a_{0}^n & a_{-1}^n & 0 & 0 & \cdots\\ a_{-1}^n & a_{0}^n & a_{-1}^n & 0 & \ddots\\ 0 & a_{1}^n & a_{0}^n & a_{-1}^n & \ddots\\ 0 & 0 & a_{1}^n & a_{0}^n & \ddots\\ \vdots & \ddots & \ddots & \ddots & \ddots \end{pmatrix}, \end{equation*} con $a_i^{j} \in $ $\mathbb{C}$.